• 长相：能整理成 $y’=f(x)g(y)$，或 $A(y)\,dy=B(x)\,dx$。
• 识别关键词：左右能“纯 $x$、纯 $y$”分开。
• 首选解法：分离变量后两边积分。

B. 一阶线性

• 长相：$y’+P(x)y=Q(x)$（或等价变形）。
• 识别关键词：$y$ 和 $y’$ 都是一阶，且对 $y$ 是线性的（没有 $y^2,\,\sqrt y$ 等）。
• 首选解法：积分因子 $\mu=e^{\int P(x)dx}$，两边同乘积分因子然后左边变成$\mu(y’+P(x)y)->(\mu y)’$，最后左右同时求积分左边$\mu y=\int Q(x)\mu dx$。

C. 伯努利

• 长相：$y’+P(x)y=Q(x)y^n,\;n\neq0,1$。
• 识别关键词：在线性方程基础上多了一个 $y^n$ 非线性项。
• 首选解法：令 $u=y^{1-n}$，化为一阶线性再解。

D. 齐次（一阶）

• 长相：$y’=F(y/x)$，或 $Mdx+Ndy=0$ 且 $M,N$ 同次齐次。
• 识别关键词：式子里常出现 $y/x$、$x/y$，或分子分母同次。
• 首选解法：令 $v=y/x$（或 $x=vy$）降为可分离。

E. 恰当方程

• 长相：$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$。
• 识别关键词：先算 $\partial M/\partial y$ 与 $\partial N/\partial x$，若相等则恰当。
• 首选解法：找势函数 $\Phi$，写成 $\Phi(x,y)=C$。

F. 线性分式

• 长相：$y’=\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$。
• 识别关键词：分子、分母都是 $x,y$ 的一次式。
• 首选解法：先平移去常数项，再化为齐次（或特殊情形做线性代换）。

G. 隐式含导数（如 $F(x,y,y’)=0$）

• 长相：不容易直接写成 $y’=f(x,y)$。
• 识别关键词：$y’$ 以平方、指数、复合等形式出现。
• 首选解法：设 $p=y’$ 做参数化，或改写成 $x(y)$（即 $dx/dy$）后求解。

1. 可分离（含可直接积分）

特点（识别）：右端只含 $x$，或可整理成 $A(y)\,dy=B(x)\,dx$。

例题（15）

\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{e^x}+\frac{y}{x} =y\!\left(e^{-x}+\frac1x\right)\)

解法：可直接分离变量。
\(\frac{dy}{y}=\left(e^{-x}+\frac1x\right)\,dx\) 积分得 \(\ln|y|=-e^{-x}+\ln|x|+C\) \(\boxed{\,y=Cx\,e^{-e^{-x}}\,}\)

2. 伯努利方程

特点（识别）：可整理成 $y’+P(x)y=Q(x)y^n$（本节两题都是 $n=2$）。

例题（6）

\((xy+1)y\,dx-x\,dy=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+y^2\)

是 $y’-\frac1x y=y^2$（$n=2$ 的伯努利方程）。

令 $u=y^{-1}$，则 $u’=-y^{-2}y’$。代换后得 \(u'+\frac1x u=-1\) 为一阶线性方程。积分因子 $\mu=x$， \((xu)'=-x \Rightarrow xu=-\frac{x^2}{2}+C \Rightarrow \frac1y=-\frac x2+\frac Cx\) \(\boxed{\,y=\frac{2x}{C-x^2}\,}\)

例题（8）

\(\frac{dy}{dx}=\frac yx+\frac{y^2}{x^3} \Rightarrow y'-\frac1x y=\frac1{x^3}y^2\)

同样令 $u=y^{-1}$，得 \(u'+\frac1x u=-\frac1{x^3}\) 积分因子 $\mu=x$， \((xu)'=-\frac1{x^2} \Rightarrow xu=\frac1x+C \Rightarrow \frac1y=\frac1{x^2}+\frac Cx\) \(\boxed{\,y=\frac{x^2}{1+Cx}\,}\)

3. 先化为 $x=x(y)$ 再解

特点（识别）：直接对 $y’$ 下手不顺，但改写成 $dx/dy$ 后结构明显变简单（可分离/线性）。

例题（11）

\(\frac{dy}{dx}=\frac{x-y+1}{x+y^2+3} \Rightarrow \frac{dx}{dy}=\frac{x+y^2+3}{x-y+1}\)

令 \(u=x-y+1\quad(\Rightarrow x=u+y-1,\; \frac{dx}{dy}=u'+1)\) 代入得 \(u'+1=\frac{u+y^2+y+2}{u} \Rightarrow u'=\frac{y^2+y+2}{u} \Rightarrow u\,du=(y^2+y+2)\,dy\) \(\frac{u^2}{2}=\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+2y+C\) 还原 $u=x-y+1$： \(\boxed{\,(x-y+1)^2=\frac{2}{3}y^3+y^2+4y+C\,}\)

4. 通过代换化为一阶线性

特点（识别）：原式里出现像 $e^{-y}y’$、$\ln y$、$y^m y’$ 这种“某个复合函数的导数”结构。

例题（3）

\(\frac{dy}{dx}=4e^{-y}\sin x-1\) 移项并乘 $e^y$： \(e^y\!\left(\frac{dy}{dx}+1\right)=4\sin x\) 令 $u=e^y$，则 $u’=e^y y’$，方程化为 \(u'+u=4\sin x\) 积分因子为 $e^x$，解得 \(u=2(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}\) 还原： \(\boxed{\,y=\ln\!\big|2(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}\big|\,}\)

例题（12）

令 $z=e^{-y}$，则 $z’=-e^{-y}y’$。原式变为 \(z-z'=xe^x \Rightarrow z'-z=-xe^x\) 这是线性方程。积分因子 $\mu=e^{-x}$， \((ze^{-x})'=-x \Rightarrow ze^{-x}=-\frac{x^2}{2}+C\) \(e^{-y}=e^x\!\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \Rightarrow \boxed{\,y=-x-\ln\!\left|C-\frac{x^2}{2}\right|\,}\)

5. 隐式方程 $F(y,y’)=0$（参数/反函数思路）

特点（识别）：方程主要是 $y$ 与 $y’$ 的关系，常先解出 $y’$ 或 $dx/dy$ 再积分。

例题（20）

\(y^2\!\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]=1\)

化为 \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=1-\frac1{y^2}\) 改写为 \(\frac{dx}{dy}=\pm\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}\) 积分： \(x=\pm\sqrt{y^2-1}+C\) 等价隐式解： \(\boxed{\,y^2-(x-C)^2=1\,}\)

6. 其余题型补充（用于覆盖章节总结）

6.1 齐次方程（补：13）

特点（识别）：可化为 $y’=F(y/x)$，优先试 $v=y/x$。

\((x^2+y^2)\,dx-2xy\,dy=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy}\) 右端是 $y/x$ 的函数组合（齐次型），令 $v=y/x$（$y=vx$）化为可分离方程后积分。

6.2 一阶线性方程（补：14）

特点（识别）：标准型 $y’+P(x)y=Q(x)$，直接用积分因子。

\(\frac{dy}{dx}=x+y+1 \Rightarrow y'-y=x+1\) 积分因子 $e^{-x}$，可得 \(\boxed{\,y=Ce^x-x-2\,}\)

6.3 恰当方程（补：22）

特点（识别）：先验算 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$。 \(\frac{2x}{y^3}\,dx+\frac{y^2-3x^2}{y^4}\,dy=0\) 设 $M=\frac{2x}{y^3},\;N=\frac{y^2-3x^2}{y^4}$，有 \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{6x}{y^4}\) 故为恰当方程，构造势函数 $\Phi$： \(\Phi_x=\frac{2x}{y^3}\Rightarrow \Phi=\frac{x^2}{y^3}+g(y)\) 再由 $\Phi_y=N$ 得 $g’(y)=\frac1{y^2}\Rightarrow g(y)=-\frac1y$。
因此 \(\boxed{\,\frac{x^2}{y^3}-\frac1y=C\,}\)

6.4 线性分式方程（补：27）

特点（识别）：分子分母均为 $x,y$ 一次式，先平移坐标再化齐次。

\(\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3y+4}{4x+6y+5}\) 分子分母对 $x,y$ 都是一阶，属线性分式型；先平移去常数，再化为齐次方程求解。

记录一道做过的蓝题

题目描述

假设你有一条长度为 $5$ 的木板，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 $5$ 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 $5$ 的字符串表示这个目标：$\texttt{RGBGR}$。

每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木板涂成 $\texttt{RRRRR}$，第二次涂成 $\texttt{RGGGR}$，第三次涂成 $\texttt{RGBGR}$，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

输入格式

输入仅一行，包含一个长度为 $n$ 的字符串，即涂色目标。字符串中的每个字符都是一个大写字母，不同的字母代表不同颜色，相同的字母代表相同颜色。

输出格式

仅一行，包含一个数，即最少的涂色次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

AAAAA

输出 #1

1

输入输出样例 #2

输入 #2

RGBGR

输出 #2

3

说明/提示

$40\%$ 的数据满足 $1\le n\le 10$。 $100\%$ 的数据满足 $1\le n\le 50$。

思路

首先我们可以把涂色过程归类为几种策略：

1. 先涂一个大区间，然后一个小区间包含在大区间内。

   AAABBBBAAA
   

2. 涂两个并列且没有交集的区间。（如果有交集会互相覆盖，又相当于没有交集了，所以不用考虑）

   AAAAABBBB
   

那么用这两个策略，我们针对一个区间 [l, r] 进行讨论：

• 如果 l = r，显然有初始化 f_l,r = 1。
• 如果 s_l = s_r，那么这个区间有可能使用策略一，那么有 f_l,r = min{f_l+1,r, f_l,r-1}。我们想象把第一步的大区间向外延伸一格即可，即可得到当前状态且不用新增步数。
• 无论 s_l 和 s_r 是否相等，都有可能使用策略二。我们用区间DP的常规操作，枚举一下断点即可。 有 f_l,r = min{f_l,r, f_l,i + f_i+1,r} (l ≤ i < r)。

时间复杂度 O(n^3)，空间复杂度 O(n^2)。

题解代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
string str;
int dp[301][301];//表示从i到j的最小次数
char s[301];
char tmp;
int main() {
	cin>>str;
	N = str.size();
	memset(dp,0x3f3f,sizeof dp);
	for (int i = 1; i <=N; ++i) {
		s[i] = str[i-1];
		dp[i][i] = 1;
	}

	for (int len = 2; len <=N ; ++len) {
		for (int l = 1; l+len-1<=N; ++l) {
			int r = l+len-1;
			if(s[l] == s[r])dp[l][r] = min(dp[l+1][r],dp[l][r-1]);
			for(int i = l;i < r;i++)
				dp[l][r] = min(dp[l][r],dp[l][i]+dp[i+1][r]);
		}
	}
	cout<<dp[1][N];
	return 0;
}

0.动态规划三要素

1. 状态定义：由背包问题相关的变量描述的一个东西
   1. 定义状态往往是最难的一步，这决定了对问题整体的建模
   2. 例如状态可以是：“前 i 个物品在容量 j 下的最大价值”
   3. 定义好状态后，再由此给出状态转移方程
2. 状态转移方程：描述如何从一个状态到另一个状态
   1. 延续上面的状态定义，令dp[i][j]表示 “前 i 个物品在容量 j 下的最大价值”
   2. 那么如果是0-1背包，状态转移方程则是：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
   3. 初始条件和边界(问题的最小规模下的解)
      1. 例如，在背包问题中，当没有物品或背包容量为0时，最大价值为0。

1.背包DP（用DP求解背包问题）

• 背包问题：给定一组物品，每个物品有重量和价值，在不超过背包容量的前提下，如何选择物品使总价值最大

  • 0-1背包：每种物品只有一个，选择放入(1)或不放入(0)背包

• 完全背包：每种物品都有无限个

小结：可以发现0-1背包和完全背包的差别其实就是一个倒序遍历一个正序遍历（正序遍历意味着可以选无限个，倒序则意味着只能选一个或者不选）

• 多重背包：每种物品都有数量限制

      // 遍历每个物品
      for (int i = 0; i < n; i++) {
          // 遍历每种容量（从后往前）
          for (int j = W; j >= wt[i]; j--) {
              // 遍历当前物品的选择数量k
              for (int k = 1; k <= s[i] && k * wt[i] <= j; k++) {
                  dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * wt[i]] + k * val[i]);
              }
          }
      }

其实这个也是正序遍历，只不过相当于把第i种的k个看成了k种，转化为了0-1背包

附：多重背包的二进制优化（?本质上是通过类似于以2为底的指数增长来更快的选完物品数量）

	for (int i = 0; i < n; i++) {
	    // 二进制拆分
	    int num = s[i]; // 当前物品的数量
	    for (int k = 1; k <= num; k *= 2) {
	        // 拆分出一个二进制分组
	        int newWt = k * wt[i]; // 新物品的重量
	        int newVal = k * val[i]; // 新物品的价值
	        // 从后往前更新dp数组
	        for (int j = W; j >= newWt; j--) {
	            dp[j] = max(dp[j], dp[j - newWt] + newVal);
	        }
	        num -= k; // 减去已经拆分的数量
	    }
	    // 处理剩余的部分
	    if (num > 0) {
	        int newWt = num * wt[i];
	        int newVal = num * val[i];
	        for (int j = W; j >= newWt; j--) {
	            dp[j] = max(dp[j], dp[j - newWt] + newVal);
	        }
	    }
	}

1.1 补充：记忆化搜索

• 记忆化搜索：一种通过记录已经遍历过的状态的信息，从而避免 对同一状态重复遍历的搜索实现方式。
• 因为记忆化搜索确保了每个状态只访问一次，它也是一种常见的 动态规划实现方式，一般基于dfs

//基于dfs的记忆化搜索(vis数组就是“记忆”，表示这个状态的东西是否被访问过)
bool dfs(int n,int m){
    if(n<m)return 0;
    if(n==m)return 1;
    if(n%3!=0||vis[n])return 0;
    vis[n]=1;//加入记忆
    int p=n/3,q=p*2;
    return dfs(p,m)||dfs(q,m);
}

2.线性DP

• 线性 DP 不是某一种 DP , 而是一类 DP 的统称.
• 线性 DP 指转移的形式是线性的, 不是指复杂度是线性的.

2.1 一维

• 题目描述

• 给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

• 思路
• 首先定义dp[i] 表示只考虑前 i 个元素时, a[i] 所在的子段的最大和，然后题目所求的答案就是max(dp[1],dp[2]...dp[n])，初始状态dp[0]=0
• 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], a[i])即只考虑前i个元素时a[i]所在子段要么是它本身要么是他前一个加上他本身(因为dp[i]一定要包含a[i])

  dp[0] = 0;  // 初始条件
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], a[i]);
  }
  int ans = -INF;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      ans = max(ans, dp[i]);
  }

• 优化：滚动数组(减少掉一维，因为从头到尾只用到了dp[i]和dp[i-1])

int ans = -INF;
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    sum = max(sum + a[i], a[i]);
    ans = max(ans, sum);
}

2.2 二维

• 题目描述

• 有一个n行m列的网格. 某人从左上角(1,1)出发, 前往右下角(n,m) ,若要求 每一步只能向下走或向右走, 且不能走入行数和列数都为偶数的格, 求他行进的方案数.

• 思路
  • 定义dp[i][j]表示从(1,1)到(i,j)的方案数，则答案为dp[n][m]
  • 状态转移方程dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1](i,j不同时为偶数)
  • 初始条件dp[1][1]=1

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (i == 1 && j == 1) continue;
        if ((i & 1) || (j & 1)) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
}

2.3 三维

• 题目描述
  • 某人带着2单位的酒出发, 一路上遇到店n次, 遇到花m次, 最后一次遇到的是花, 且正好将酒喝光. 已知他遇到店时, 拥有的酒量会翻一倍; 遇到花时, 拥有的酒量会减少1单位. 求他路上遇到店和花的顺序的方案数, 答案对(1e9+7)取模. 规定: 没有酒时遇到店是合法的, 但遇到花是不合法的.
• 思路
  • dp[i][j][k]表示走了i步，经过了j次店，当前酒量为k的方案数(即想要达成这样的状态可以有多少种花和店的排列)
  • 状态转移方程
    • 上一步遇到花dp[i][j][k]=dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k+1]
    • 上一步遇到店dp[i][j][k]=dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k/2]
  • 初始条件
    • dp[1][0][2]=1
  • 由题最后一次遇到的是花, 且正好将酒喝光，所以答案dp[n+m][n][1]

dp[1][0][2] = 1;  // 初始条件
for (int i = 2; i <= n + m; i++) {
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
        for (int k = 0; k <= m; k++) {
            // 遇到花
            dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i - 1][j][k + 1]) % MOD;
            // 遇到店
            if (j && (k % 2 == 0)) {
                dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i - 1][j - 1][k / 2]) % MOD;
            }
        }
    }
}

3.区间DP

虽说是2024的年度最爱，但实际上是25年才写的，毕竟24年这博客还没上线（或者说已经下线了）。以后这个top10会每年更新一次，多少也算记录我音乐口味的变化了hhhhh。既然是我的个人博客，也就懒得叠甲了，总之直接开始！

首先是提名！

从下面的几张专辑里选出了我认为有潜力竞争Top10的歌曲！每张专辑给的歌曲数目不定！像15，JTW听得较少，因此相对给的歌曲比较少（这样也正符合我纪录自己音乐口味的需求）

《soulboy》 ：春风吹，每天每天，叫我怎么说，我们能不能，总结

《爱爱爱》 ：苏丽珍，歌手与模特，Goodbye Melody Rose，If you leave me now

《未来》 ：Love Song，暖，十九八七…，忘了美丽，Sorry

《橙月》 ：小小虫，1234567，三人游，100种表情，爱我吧，Orange Moon

《回到未来》 ：爱立刻，BB88

《JTW西游记》 ：Run From Your Love，听，很不低调

排名来咯！

No.10 《每天每天》

收录于《Soulboy》，娃娃作词。
简单评价：最耐听，适合每天每天听。

No.9 《歌手与模特儿》

收录于《爱爱爱》，林夕作词。
最有梗的一集《歌手与模特儿》->《大同与薛凯琪》。“我为你写了一首歌，可是你完全认不得，还问我是用心送给谁的，我只好敷衍是写给歌迷的。”
简单评价：诙谐的歌词和唱法，最有趣的一首歌，听起来轻松解压。

No.8 《1234567》

收录于《橙月》，葛大为作词。
演唱会里的唱这首歌的时候就是我认为方大同最具魅力的时刻，超帅吉他弹唱+超强律动+超甜歌词，以至于我一度在网上找谱尝试学习这首歌的弹唱，然而方大同的歌曲都是好听难唱，以至于最后我根本拿不出手hhh，并且他的律动感我实在模仿不出来。
简单评价：《1234567》展现了我心中的律动感。

No.7 《苏丽珍》

收录于《爱爱爱》，周耀辉作词。
方大同版的《苏三说》，个人认为这首歌的桥是他最神的桥之一。最推荐的方大同入门曲，旋律超好听。

No.6 《春风吹》

收录于《Soulboy》，周耀辉作词。
编曲最符合歌名的一首。阿卡贝拉+戏曲风格，各种稀奇古怪的音色如同春风吹后复苏各种小动物，春意盎然。
简单评价：微风+小动物般的春意盎然。

No.5 《Goodbye Melody Rose》

方大同：”这首歌叫Goodbye Melody Rose。Melody就是旋律，Rose就是玫瑰，纪念朋友。”
收录于《爱爱爱》，周耀辉作词。
简单评价：极其饱满的情绪，纪念朋友，同时传递力量。

No.4 《小小虫》

收录于《橙月》，农夫作词。
清新的鼓点节奏+点缀音色，前奏最有画面感，微风+小晴天的下午在大学校园骑自行车。
简单评价：清新校园感。

No.3 《Sorry》

收录于专辑《未来》，娃娃作词。
最爱的编曲和唱法，超爽听感。每次“I’m so sorry”接桥段就是一次超爽释放。
简单评价：跟着乐器一起点头的都是真爱。

No.2 《忘了美丽》

收录于专辑《未来》，本人作词。
简单评价：丰富、优雅、舒适，是方大同最被低估的歌曲。

No.1 《我们能不能》

收录于第一张专辑《Soulboy》，发布于2005年11月16日。
简单评价：以“爱”为主题，强律动性，抓耳耐听的桥段，深刻平实的歌词，展现方大同的音乐核心——爱。

“我们能不能有一天没有战争”
“有一天没有伤痕”
“有一天仇恨痛的没有那么深”
“如果我们想看见”
“我们一定能实现”
“只需要一点时间”
“真正去改变”

Top 0（论外）《Orange Moon》

收录于《橙月》，隐藏曲目。
简单描述：单纯吉他弹唱，但情感表达清晰。

“I’ll search for the orange moon”
“that lit up our love on the ocean”
“while I held your hand.”
“If I see the horizon”
“glow just the same as it did when we stood on the hill”
“I’ll make the arrangements, just wait on that corner for me”