一阶常微分方程常见题型归纳

A. 可分离变量

长相：能整理成 $y’=f(x)g(y)$，或 $A(y)\,dy=B(x)\,dx$。
识别关键词：左右能“纯 $x$、纯 $y$”分开。
首选解法：分离变量后两边积分。

B. 一阶线性

长相：$y’+P(x)y=Q(x)$（或等价变形）。
识别关键词：$y$ 和 $y’$ 都是一阶，且对 $y$ 是线性的（没有 $y^2,\,\sqrt y$ 等）。
首选解法：积分因子 $\mu=e^{\int P(x)dx}$，两边同乘积分因子然后左边变成$\mu(y’+P(x)y)->(\mu y)’$，最后左右同时求积分左边$\mu y=\int Q(x)\mu dx$。

C. 伯努利

长相：$y’+P(x)y=Q(x)y^n,\;n\neq0,1$。
识别关键词：在线性方程基础上多了一个 $y^n$ 非线性项。
首选解法：令 $u=y^{1-n}$，化为一阶线性再解。

D. 齐次（一阶）

长相：$y’=F(y/x)$，或 $Mdx+Ndy=0$ 且 $M,N$ 同次齐次。
识别关键词：式子里常出现 $y/x$、$x/y$，或分子分母同次。
首选解法：令 $v=y/x$（或 $x=vy$）降为可分离。

E. 恰当方程

长相：$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$。
识别关键词：先算 $\partial M/\partial y$ 与 $\partial N/\partial x$，若相等则恰当。
首选解法：找势函数 $\Phi$，写成 $\Phi(x,y)=C$。

F. 线性分式

长相：$y’=\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$。
识别关键词：分子、分母都是 $x,y$ 的一次式。
首选解法：先平移去常数项，再化为齐次（或特殊情形做线性代换）。

G. 隐式含导数（如 $F(x,y,y’)=0$）

长相：不容易直接写成 $y’=f(x,y)$。
识别关键词：$y’$ 以平方、指数、复合等形式出现。
首选解法：设 $p=y’$ 做参数化，或改写成 $x(y)$（即 $dx/dy$）后求解。

1. 可分离（含可直接积分）

特点（识别）：右端只含 $x$，或可整理成 $A(y)\,dy=B(x)\,dx$。

例题（15）

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{e^x}+\frac{y}{x} =y\!\left(e^{-x}+\frac1x\right)$

解法：可直接分离变量。
$\frac{dy}{y}=\left(e^{-x}+\frac1x\right)\,dx$ 积分得 $\ln|y|=-e^{-x}+\ln|x|+C$ $\boxed{\,y=Cx\,e^{-e^{-x}}\,}$

2. 伯努利方程

特点（识别）：可整理成 $y’+P(x)y=Q(x)y^n$（本节两题都是 $n=2$）。

例题（6）

$(xy+1)y\,dx-x\,dy=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+y^2$

是 $y’-\frac1x y=y^2$（$n=2$ 的伯努利方程）。

令 $u=y^{-1}$，则 $u’=-y^{-2}y’$。代换后得 $u'+\frac1x u=-1$ 为一阶线性方程。积分因子 $\mu=x$， $(xu)'=-x \Rightarrow xu=-\frac{x^2}{2}+C \Rightarrow \frac1y=-\frac x2+\frac Cx$ $\boxed{\,y=\frac{2x}{C-x^2}\,}$

例题（8）

$\frac{dy}{dx}=\frac yx+\frac{y^2}{x^3} \Rightarrow y'-\frac1x y=\frac1{x^3}y^2$

同样令 $u=y^{-1}$，得 $u'+\frac1x u=-\frac1{x^3}$ 积分因子 $\mu=x$， $(xu)'=-\frac1{x^2} \Rightarrow xu=\frac1x+C \Rightarrow \frac1y=\frac1{x^2}+\frac Cx$ $\boxed{\,y=\frac{x^2}{1+Cx}\,}$

3. 先化为 $x=x(y)$ 再解

特点（识别）：直接对 $y’$ 下手不顺，但改写成 $dx/dy$ 后结构明显变简单（可分离/线性）。

例题（11）

$\frac{dy}{dx}=\frac{x-y+1}{x+y^2+3} \Rightarrow \frac{dx}{dy}=\frac{x+y^2+3}{x-y+1}$

令 $u=x-y+1\quad(\Rightarrow x=u+y-1,\; \frac{dx}{dy}=u'+1)$ 代入得 $u'+1=\frac{u+y^2+y+2}{u} \Rightarrow u'=\frac{y^2+y+2}{u} \Rightarrow u\,du=(y^2+y+2)\,dy$ $\frac{u^2}{2}=\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+2y+C$ 还原 $u=x-y+1$： $\boxed{\,(x-y+1)^2=\frac{2}{3}y^3+y^2+4y+C\,}$

4. 通过代换化为一阶线性

特点（识别）：原式里出现像 $e^{-y}y’$、$\ln y$、$y^m y’$ 这种“某个复合函数的导数”结构。

例题（3）

$\frac{dy}{dx}=4e^{-y}\sin x-1$ 移项并乘 $e^y$： $e^y\!\left(\frac{dy}{dx}+1\right)=4\sin x$ 令 $u=e^y$，则 $u’=e^y y’$，方程化为 $u'+u=4\sin x$ 积分因子为 $e^x$，解得 $u=2(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}$ 还原： $\boxed{\,y=\ln\!\big|2(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}\big|\,}$

例题（12）

\[e^{-y}\!\left(\frac{dy}{dx}+1\right)=xe^x\]

令 $z=e^{-y}$，则 $z’=-e^{-y}y’$。原式变为 $z-z'=xe^x \Rightarrow z'-z=-xe^x$ 这是线性方程。积分因子 $\mu=e^{-x}$， $(ze^{-x})'=-x \Rightarrow ze^{-x}=-\frac{x^2}{2}+C$ $e^{-y}=e^x\!\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \Rightarrow \boxed{\,y=-x-\ln\!\left|C-\frac{x^2}{2}\right|\,}$

5. 隐式方程 $F(y,y’)=0$（参数/反函数思路）

特点（识别）：方程主要是 $y$ 与 $y’$ 的关系，常先解出 $y’$ 或 $dx/dy$ 再积分。

例题（20）

$y^2\!\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]=1$

化为 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=1-\frac1{y^2}$ 改写为 $\frac{dx}{dy}=\pm\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}$ 积分： $x=\pm\sqrt{y^2-1}+C$ 等价隐式解： $\boxed{\,y^2-(x-C)^2=1\,}$

6. 其余题型补充（用于覆盖章节总结）

6.1 齐次方程（补：13）

特点（识别）：可化为 $y’=F(y/x)$，优先试 $v=y/x$。

$(x^2+y^2)\,dx-2xy\,dy=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy}$ 右端是 $y/x$ 的函数组合（齐次型），令 $v=y/x$（$y=vx$）化为可分离方程后积分。

6.2 一阶线性方程（补：14）

特点（识别）：标准型 $y’+P(x)y=Q(x)$，直接用积分因子。

$\frac{dy}{dx}=x+y+1 \Rightarrow y'-y=x+1$ 积分因子 $e^{-x}$，可得 $\boxed{\,y=Ce^x-x-2\,}$

6.3 恰当方程（补：22）

特点（识别）：先验算 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$。 $\frac{2x}{y^3}\,dx+\frac{y^2-3x^2}{y^4}\,dy=0$ 设 $M=\frac{2x}{y^3},\;N=\frac{y^2-3x^2}{y^4}$，有 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{6x}{y^4}$ 故为恰当方程，构造势函数 $\Phi$： $\Phi_x=\frac{2x}{y^3}\Rightarrow \Phi=\frac{x^2}{y^3}+g(y)$ 再由 $\Phi_y=N$ 得 $g’(y)=\frac1{y^2}\Rightarrow g(y)=-\frac1y$。
因此 $\boxed{\,\frac{x^2}{y^3}-\frac1y=C\,}$

6.4 线性分式方程（补：27）

特点（识别）：分子分母均为 $x,y$ 一次式，先平移坐标再化齐次。

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3y+4}{4x+6y+5}$ 分子分母对 $x,y$ 都是一阶，属线性分式型；先平移去常数，再化为齐次方程求解。